\part{Analisi dei risultati}

\frame{
	\transboxout
	\partpage
}

\frame{
	\frametitle{Illustriamo i risultati delle simulazioni}
	\begin{block}{Simulazioni svolte con \texttt{Heat-Spectral}}
		\begin{itemize}
			\item Problema test provvisto di soluzione esatta.
			\item Problema applicativo in ambito ingegneristico.
		\end{itemize}
	\end{block}
}

\section{Problema test provvisto di soluzione esatta}

\subsection{Inquadramento teorico}

\frame{
	\frametitle{Equazione del calore su un dominio quadrato}
	\[
	\left\{
		\begin{array}{ll}
			u_t(\vec{x},t) - \varDelta u(\vec{x},t) = 0,	&\qquad\textsf{in}\ \varOmega=[0,2\pi]\times[0,2\pi], t>0\\[4mm]
			u(\vec{x},0) = \sin(2x)\sin(2y),		&\qquad\textsf{in}\ \varOmega\\[4mm]
			u(\vec{x},t) = 0,					&\qquad\textsf{su}\ \partial\varOmega, t>0
		\end{array}
	\right.
	\]\pause
	
	\begin{alertblock}{Soluzione analitica}
		\[
			u(\vec{x},t) = \exp(-8t)\sin(2x)\sin(2y)
		\]
	\end{alertblock}
}

\frame{
	\frametitle{Spazi funzionali per la soluzione}
	\begin{block}{Norme utilizzate per il calcolo degli errori di discretizzazione}
		\vspace{4mm}
		\[
		\begin{array}{c}
			\Vert u - u_N^* \Vert_{L^\infty([0,T],L^2(\varOmega))} =
			\displaystyle{\underset{t\in[0,T]}{\esssup}}\Vert u(t) - u_N^*(t) \Vert_{L^2(\varOmega)}\\[6mm]
			\Vert u - u_N^* \Vert_{L^2([0,T],H^1(\varOmega))} =
			\left( \displaystyle{\int_0^T \left\Vert u(t) - u_N^*(t) \right\Vert_{H^1(\varOmega)}^2\,\textsf{d}t} \right)^{1/2}
		\end{array}
		\]
	\end{block}
	\vspace{0.5cm}
	Dove pensiamo a $u(\vec{x},t)$ come una funzione di $t$ a valori in un opportuno spazio di Hilbert:
	\[
		u:[0,T] \to H^1_{\varGamma_D}(\varOmega)
	\]
}

\frame{
	\frametitle{Spazi funzionali per la soluzione}
	Sia $\vec{e}_0\in\R^{T+1}$ la rappresentazione vettoriale dell'errore di discretizzazione in norma $L^2(\varOmega)$ e $\vec{e}_1\in\R^{T+1}$ quella dell'errore in norma $H^1(\varOmega)$.\pause
	\begin{alertblock}{...e la loro formulazione numerica}
		\[
		\begin{array}{c}
			\Vert u - u_N^* \Vert_{L^\infty([0,T],L^2(\varOmega))} \approx
			\underset{k\in\{0,T\}}{\max} \vec{e}_0[k]\\[6mm]
			\Vert u - u_N^* \Vert_{L^2([0,T],H^1(\varOmega))} \approx
			\left(\dfrac{\varDelta t}{2}\Big(\vec{e}_1^2[0]+\vec{e}_1^2[T]\Big) + \varDelta t \displaystyle{\sum_{k=1}^{T-1}\vec{e}_1^2[k]}\right)^{1/2}
		\end{array}
		\]
	\end{alertblock}
	\vspace{0.5cm}
	Dove con $\vec{e}_i[k]$ intendiamo la $k$-esima componente del vettore $\vec{e}_i$.
}

\subsection{Risoluzione numerica}

\frame{
	\frametitle{Interpolazione del dato iniziale}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.4\columnwidth]{init2d}
		\qquad
		\includegraphics[width=0.5\columnwidth]{init3d}
	\end{center}
}

\frame{
	\frametitle{Soluzione numerica dopo $0.1$~secondi}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.4\columnwidth]{after2d}
		\qquad
		\includegraphics[width=0.5\columnwidth]{after3d}
	\end{center}
}

\subsection{Analisi di convergenza}

\frame{
	\frametitle{Variazione del numero di elementi spettrali}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.45\columnwidth]{spaceCN}
		\quad
		\includegraphics[width=0.45\columnwidth]{spaceEI}
	\end{center}
}

\frame{
	\frametitle{Variazione del grado polinomiale nelle formule di quadratura}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.6\columnwidth]{poly}
	\end{center}
}

\frame{
	\frametitle{Variazione del passo temporale nello schema alle differenze finite}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=0.45\columnwidth]{timeCN}
		\quad
		\includegraphics[width=0.45\columnwidth]{timeEI}
	\end{center}
}

\frame{
	\frametitle{Ordini di convergenza del $\vartheta$-metodo}
	\begin{center}
		\begin{tabular}{*3{c}}
			\toprule
			Metodo			& Norma $L^\infty([0,T],L^2(\varOmega))$	& Norma $L^2([0,T],H^1(\varOmega))$\\
			\midrule
			Crank-Nicolson	& $2.023380$							& $1.807852$\\
			Eulero Implicito		& $0.868116$							& $0.921095$\\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{center}
}

\section{Problema applicativo in ambito ingegneristico}

\subsection{Descrizione del problema}

\frame{
	\frametitle{Il modello matematico}
	\begin{alertblock}{Problema di diffusione e trasporto}
	\[
	\left\{
		\begin{array}{ll}
			u_t(\vec{x},t) - \Div\big(\mu(\vec{x})\nabla u(\vec{x},t)\big) + \vec{b}\cdot\nabla u(\vec{x},t) = f(\vec{x},t),		&\textsf{in}\ \varOmega\times[0,T]\\[4mm]
			u(\vec{x},0) = u_0 = 300~K,														&\textsf{in}\ \varOmega\\[4mm]
			u(\vec{x},t) = u_D = 300~K,														&\textsf{su}\ \varGamma_D\times[0,T]\\[4mm]
			\mu(\vec{x})\nabla u(\vec{x},t)\cdot\vec{n} = 0,											&\textsf{su}\ \varGamma_N\times[0,T]
		\end{array}
	\right.
	\]
	\end{alertblock}
}

\frame{
	\frametitle{Il dominio di calcolo}
	\begin{center}
		\includegraphics[width=\columnwidth]{dominio}
	\end{center}
}

\frame{
	\frametitle{Valori dei parametri e delle funzioni}
	\begin{block}{Coefficiente di diffusività termica (in $m^2/h$)}
	\[
		\mu(\vec{x}) = \left\{
			\begin{array}{llr}
				7.978\cdot 10^{-2},	&\textsf{per}\ |y| < 0.7			& \quad\textsf{Aria}\\[2mm]
				0.403\cdot 10^{-1},	&\textsf{per}\ 0.7 \leq |y| \leq 0.8	& \quad\textsf{Rame}\\[2mm]
				1.008\cdot 10^{-3},	&\textsf{per}\ 0.8 < |y| \leq 1.0		& \quad\textsf{Lana di vetro}\\[2mm]
				7.978\cdot 10^{-2},	&\textsf{per}\ |y| > 1.0			& \quad\textsf{Aria}
			\end{array}
		\right.
	\]
	\end{block}
	\vspace{0.5cm}
	\begin{block}{Campo di trasporto parabolico (in $m/h$)}
	\[
		\vec{b}(\vec{x}) = \left[\begin{array}{c}b_x \\[2mm]b_y\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}3.6(0.7-y)(0.7+y)\\[2mm]0\end{array}\right],\quad\textsf{per}\ |y| < 0.7
	\]
	\end{block}
}

\frame{
	\frametitle{Valori dei parametri e delle funzioni}
	\begin{block}{Forzante tempo-dipendente (in $K/h$)}
	\[
		f(\vec{x},t) = \left\{
			\begin{array}{ll}
				\sin\left(\dfrac{2\pi}{24}t\right),	&\textsf{per}\ 0.7 < |y| < 0.8\quad\land\\[1mm]
										&\land\quad(0.2 < x < 0.4 \lor 0.6 < x < 0.8)\\[6mm]
				0,						&\textsf{altrimenti}
			\end{array}
		\right.
	\]
	\end{block}
}

\subsection{Risultati delle simulazioni}

\frame{
	\frametitle{Soluzione in presenza della guaina isolante}
	\vspace{-0.8cm}
	\begin{center}
		\movie[width=11cm,height=6cm,poster,showcontrols=true,borderwidth=1.5pt,loop,autostart]{Loading...}{./movies/tubewith.avi}
	\end{center}
}

\frame{
	\frametitle{Soluzione in assenza della guaina isolante}
	\vspace{-0.8cm}
	\begin{center}
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	\end{center}
}